ローレンツ変換を久しぶりに

求めてみよう。なんか、相対論についてちょろっと書いたらどうだったか不安になっちゃった。本を見ずに思い出しながら書きまーす。


面倒くさいから、空間一次元、時間一次元の (ct,x)で考える。時間の方に c を書けて議論してしまいます。


座標系 (ct,x) に対して、速度 v で動く座標系 (ct',x') を考える。両座標系で光速が一定、c であることから、これは線形変換で、

x'=\alpha(x-\beta ct)
ct'=\gamma(ct-\delta x)

と書くことができる。ここで、\beta=v/c。


さて、光速が一定である、ということから、光の描く世界線は、

ct'=\pm x'

これに先の変換式を代入すると、

\alpha=\gamma
\beta=\delta

であることがわかる。

\beta はすでにわかっている。あとは \gamma を決定すればよい。


この変換は

\left(\begin{array}x'\\ct'\end{array}\right)=\gamma\left(\begin{array}1&-\beta\\-\beta&1\end{array}\right)\left(\begin{array}x\\ct\end{array}\right)

と表されるが、変換後の計量テンソルを変えないためには、ds^2=d(ct')^2-dx^{\prime 2} のように表される必要があって、すると、


\begin{eqnarray}ds^2=d(ct')^2-dx^{\prime 2}&=&\gamma^2(dct-\beta dx)^2-\gamma^2(dx-\beta dct)^2\\&=&\gamma^2(1-\beta^2)d(ct)^2-\gamma^2(1-\beta^2)dx^{2}\end{eqnarray}

であるから、

\gamma^2(1-\beta^2)=1

であればよい。よって、


\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}

できた〜。でも、合ってるのか？あとで教科書を読んでみよう。


今気づいたけど、ds^2 の式、変換前と変換後を取り違えている。とほほ…。ということで、書き換えてみました。


ローレンツ変換？特殊相対性理論？を導く際の本当のミソは、ds^2 をこうやって表す、という点になるのかな？ここで書いたのは数学的な操作だけであって、物理的な考察はあんまり含まれていません。念のため。